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Probabilités sur un univers fini

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Méthode 1 : Calculer des probabilités élémentaires

Définition :

On définit P(A) la probabilité de l’événement AΩ par :
P(A)=nombre de cas favorables à l’événementnombre de cas possibles

Propriétés élémentaires :

  • P()=0
  • P(Ω)=1
  • 0P(A)1
  • P(ˉA)=1P(A) avec ˉA événement contraire de A.
  • P(A)=1 signifie que l’évènement est toujours réalisé (évènement certain).
  • P(A)=0 signifie que l’évènement est impossible.
  • P(A ou B)=P(AB) =P(A)+P(B)P(AB)
  • Si A et B sont incompatibles (ou exclusifs : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps), alors AB= et P(A et B) =P(AB)=0.

Méthode 2 : Calculer des probabilités conditionnelles

Définition :

Soit $\rm B$ événement de $\Omega$ tel que $\rm P(B)>0$.

Pour tout $\rm A$ événement de $\Omega$, la probabilité de $\rm A$ sachant $\rm B$ (probabilité conditionnelle) est :

$\rm P_B(A)=P(A|B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Théorème :

Soient $\rm A, B$ deux événements de $\Omega$.

$\rm P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)$

Théorème : Formule de Bayes

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements de probabilités non nulle :

$\rm P(A|B)=\dfrac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}$

Définition :

Deux événements $\rm A, B$ sont indépendants si $\rm P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Remarque :

  • Si $\rm P(B)>0$, $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants si $\rm P(A|B)=P(A)$.
  • Deux événements qui ne sont pas indépendants, sont dits liés.

Théorème :

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants :

  • $\rm A$ et $\rm \bar{B}$ sont indépendants.
  • $\rm \bar{A}$ et $\rm B$ sont indépendants.
  • $\rm \bar{A}$ et $\rm \bar{B}$ sont indépendants.

Théorème : Formule des probabilités totales

Par lecture de l’arbre des probabilités, on retrouve la formule des probabilités totales :

$\rm P(B)$ $\rm =P(A)\times P(B/A)+P(\bar{A})\times P(B/\bar{A})$.

Plus généralement, si $\rm A_1,\ldots,A_n$ est un système complet d’événements (pour tous $i,j\in 1,\ldots,n$ avec $i\neq j$, $\rm A_i\cap A_j=\emptyset$ et $\bigcup_{i=1}^n\rm A_i=\Omega$), alors pour tout événenement $\rm B\in\Omega$, $\rm P(B)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \rm P(B \cap A_i)$.

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