Produits scalaires et familles orthogonales

Définitions :

Un $\mathbb R$-espace vectoriel $\rm E$ muni d’un produit scalaire s’appelle un espace préhilbertien.

Si $\rm E$ est de dimension finie, $\rm E$ est appelé espace euclidien.

On suppose dans la suite que $\rm E$ est un espace préhilbertien.

Définition :

Un produit scalaire $\varphi$ sur $\rm E$ est une application de $\rm E\times E$ dans $\mathbb R$ vérifiant :

• Pour tout $(x,y,z)\in\rm E^3$, pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $\varphi(\lambda x+y,z)=\lambda \varphi(x,z)+\varphi(y,z)$ ($\varphi$ est linéaire à gauche)
• Pour tout $(x,y,z)\in\rm E^3$, pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $\varphi(x,\lambda y+z)= \lambda \varphi(x,y)+ \varphi(x,z)$ ($\varphi$ est linéaire à droite)
• Pour tout $(x,y)\in\rm E^2$, $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$ ($\varphi$ est symétrique)
• Pour tout $x\in \rm E$, $\varphi(x,x)\geq 0$ ($\varphi$ est positive)
• Pour tout $x\in \rm E$, $\varphi(x,x)= 0 \Rightarrow x=\rm 0_E$ ($\varphi$ est définie)

Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie positive.
Notation usuelle du produit scalaire : $\varphi=(\cdot|\cdot)$

Exemples :

• Produit scalaire canonique sur $\rm \mathbb R^n$

Pour $x=(x_1,\ldots,x_{\rm n})$ et $y=(y_1,\ldots,y_{\rm n})$, $(x|y)=\displaystyle\mathrm{\sum_{k=1}^n} x_{\rm k}y_{\rm k}$

• Sur $\rm C([a,b])$, $(f|g)=\displaystyle\int_{\rm a}^{\rm b} f(\mathrm t)g\rm (t)dt$

Définition :

Norme associée au produit scalaire $||\cdot||$ : pour tout $x\in \rm E$, $\|x\|=\sqrt{(x|x)}$.

C’est une norme car elle vérifie :

• Pour tout $x\in \rm E$, $\|x\| \geq 0$ (avec égalité si et seulement si $x=0$)
• Pour tout $x\in \rm E$, pour tout $\lambda \in\mathbb R$, $\|\lambda x\|=|\lambda| \times \|x\|$
• Pour tous $x,y\in \rm E$, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$.

Théorème : Inégalité triangulaire

Pour tous $x,y\in \rm E$, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ avec égalité si et seulement si $x=0$ ou s’il existe $\lambda \in\mathbb R^+$ tel que $y=\lambda x$ ($x$ et $y$ sont dits positivement liés).

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tout $(x,y)\in \rm E^2$, $|(x|y)|\leq ||x|| \times ||y||$

Il y a égalité si et seulement si $(x,y)$ est liée.

Définition : Soit $(x,y)\in \rm E^2$,

Les vecteurs $x$ et $y$ sont orthogonaux si $(x|y)=0$. On note $x \bot y$.

Théorème de Pythagore :

Soit $(x,y)\in \rm E^2$ :

• $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+2(x|y)$
• $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$

Définition :

Soit $(x_{\rm i})_{\rm i}$ une famille d’éléments de $\rm E$.

• $(x_{\rm i})_{\rm i}$ est une famille orthogonale de $\rm E$ si les éléments de la famille sont deux à deux orthogonaux
• $(x_{\rm i})_{\rm i}$ est une famille orthonormale ou orthonormée de $\rm E$ si les éléments de la famille sont unitaires ou normés $(||x_{\rm i}||=1)$ et deux à deux orthogonaux.

Propriété : Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.

Propriété : Si $(x_1,\ldots,x_{\rm n})$ est une famille orthogonale, on a la relation de Pythagore : $\left\|\displaystyle\mathrm{\sum_{k=1}^n} x_{\rm k}\right\|^2=\displaystyle\mathrm{\sum_{k=1}^n}\left\|x_{\rm k}\right\|^2$.

Procédé d’orthonormalisation : Si $(x_1,\ldots,x_{\rm n})$ est une famille libre de $\rm E$, il existe une unique famille orthonormale $\rm (e_1 ,\ldots,e_n)$ vérifiant :

• Pour tout $\rm k=1,\ldots,n$, $\rm Vect(e_1,\ldots,e_n)$ $=\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_{\rm n})$
• Pour tout $\rm k=1,\ldots,n$, $(\mathrm{e_k}|x_{\rm k})>0$

Le passage de $(x_1,\ldots,x_{\rm n})$ à $\rm (e_1,\ldots,e_n)$ s’appelle le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.