1. Définition
Définition :
Une série ∑un converge si la suite de ses sommes partielles (Sn)n∈N avec Sn=n∑k=0uk converge.
On note +∞∑k=0uk=limn→+∞n∑k=0uk.
Théorème :
Si la série ∑un converge, alors la suite (un)n tend vers 0.
Remarque : Si (un)n ne tend pas vers 0, on dit que la série ∑un diverge grossièrement.
2. Utiliser le lien suite et série
Théorème :
La suite (un) et la série ∑(un+1−un) sont de même nature.
3. Opérations
Théorème :
Soient ∑un et ∑vn deux séries convergentes et λ∈K.
Alors ∑λun et ∑un+vn sont des séries convergentes.