1. Définition
Définition :
Une série $\displaystyle \sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(\mathrm S_n)_{n\in\mathbb N}$ avec $\mathrm S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$ converge.
On note $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k$.
Théorème :
Si la série $\displaystyle \sum u_n$ converge, alors la suite $(u_n)_n$ tend vers $0$.
Remarque : Si $(u_n)_n$ ne tend pas vers $0$, on dit que la série $\displaystyle \sum u_n$ diverge grossièrement.
2. Utiliser le lien suite et série
Théorème :
La suite $(u_\rm n)$ et la série $\displaystyle\sum (u_{\mathrm n+1}-u_\mathrm n)$ sont de même nature.
3. Opérations
Théorème :
Soient $\displaystyle\sum u_n$ et $\displaystyle\sum v_n$ deux séries convergentes et $\lambda \in \mathbb K$.
Alors $\displaystyle\sum \lambda u_n$ et $\displaystyle\sum u_n+v_n$ sont des séries convergentes.