Une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$ est une suite définie par $\forall n\in {\Bbb N}$: $u_{n+1}=u_n+r$.
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors pour tout $n\in {\Bbb N}$: $u_n=u_0+nr$.
Pour $n\in {\Bbb N}$, en posant $\mathrm S_n=u_0+…+u_n$, on a : $\mathrm S_n=(n+1)\times\displaystyle\frac{u_0+u_n}{2}$.
Exemple :
$\mathrm S_n=1+2+\ldots+n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite de terme général : $u_{n+1}=u_n+1$ qui est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme $u_0=0$ donc $u_n=0+n\times 1=n$.
Par conséquent $\mathrm S_n=(n+1)\times\displaystyle\frac{u_0+u_n}{2}$ $=(n+1)\times\displaystyle\frac{0+n}{2}$ $=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$.
D’où : $\displaystyle\sum_{k=0}^n k=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$.