Une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q$ est une suite définie par $\forall n\in {\Bbb N}$: $u_{n+1}=qu_n$
Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $r$, alors pour tout $n\in {\Bbb N}$: $u_n=q^nu_0$.
Pour $n\in {\Bbb N}$ et $q\neq 1$, en posant $\mathrm S_n=u_0+\ldots+u_n$, on a : $\mathrm S_n=\displaystyle\frac{u_0-u_{n+1}}{1-q}$
Exemple :
$\mathrm S_n=1+q+…+q^n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite de terme général : $u_{n+1}=qu_n$ qui est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0=1$ donc $u_n=q^n$.
Par conséquent $\mathrm S_n=\displaystyle\frac{u_0-u_{n+1}}{1-q}=\displaystyle\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
D’où : $\displaystyle\sum_{k=0}^n q^k=\displaystyle\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
Convergence de la suite géométrique $(q^n)$ avec $q$ réel :
- Si $q >1$ alors $(q^n)$ $\rm DV$ vers $+\infty$.
- Si $q = 1$ alors $(q^n)$ est la suite constante en $1$ donc $\rm CV$ vers $1$.
- Si $-1 < q < 1$ alors $(q^n)$ CV vers $0$.
- Si $q \le -1$ alors $(q^n)$ $\rm DV$ sans tendre vers $- \infty$ ou $+\infty$.