go-back Retour

Suites particulières

📝 Mini-cours GRATUIT

Méthode 1 : Étudier les suites arithmétiques

Une suite arithmétique (un) de raison r est une suite définie par nN: un+1=un+r.

Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tout nN: un=u0+nr.

Pour nN, en posant Sn=u0++un, on a : Sn=(n+1)×u0+un2.

Exemple :

Sn=1+2++n est la somme des n+1 premiers termes de la suite de terme général : un+1=un+1 qui est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme u0=0 donc un=0+n×1=n.

Par conséquent Sn=(n+1)×u0+un2 =(n+1)×0+n2 =n(n+1)2.

D’où : nk=0k=n(n+1)2.

Méthode 2 : Étudier les suites géométriques

Une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q$ est une suite définie par $\forall n\in {\Bbb N}$: $u_{n+1}=qu_n$

Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $r$, alors pour tout $n\in {\Bbb N}$: $u_n=q^nu_0$.

Pour $n\in {\Bbb N}$ et $q\neq 1$, en posant $\mathrm S_n=u_0+\ldots+u_n$, on a : $\mathrm S_n=\displaystyle\frac{u_0-u_{n+1}}{1-q}$

Exemple :

$\mathrm S_n=1+q+…+q^n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite de terme général : $u_{n+1}=qu_n$ qui est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0=1$ donc $u_n=q^n$.

Par conséquent $\mathrm S_n=\displaystyle\frac{u_0-u_{n+1}}{1-q}=\displaystyle\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

D’où : $\displaystyle\sum_{k=0}^n q^k=\displaystyle\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Convergence de la suite géométrique $(q^n)$ avec $q$ réel :

  • Si $q >1$ alors $(q^n)$ $\rm DV$ vers $+\infty$.
  • Si $q = 1$ alors $(q^n)$ est la suite constante en $1$ donc $\rm CV$ vers $1$.
  • Si $-1 < q < 1$ alors $(q^n)$ CV vers $0$.
  • Si $q \le -1$ alors $(q^n)$ $\rm DV$ sans tendre vers $- \infty$ ou $+\infty$.

Méthode 3 : Étudier les suites arithmético-géométriques

Soient $a,b \in {\Bbb R}$. Une suite arithmético-géométrique ou linéaire du premier ordre est une suite définie par $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n+1}=au_n+b$.

On cherche à déterminer $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.

Méthode pour déterminer $u_n$ en fonction de $n$.

  • Si $a=1$ alors $(u_n)$ est une suite arithmétique donc on a $u_n = u_0 + n b$.
  • On suppose dans la suite que $a \neq 1$. On définit une autre suite $v_n = u_n - c$ avec $c$ solution de l'équation $ax+b = x$ c'est-à-dire $\displaystyle{c=\frac{b}{1-a}}$. La théorie nous dit alors que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$. Donc $v_n = a^nv_0$. Comme $u_n=v_n+c$, on a $u_n = a^n v_0+c = a^n (u_0 - c) +c$.

🎲 Quiz GRATUIT

NOMAD EDUCATION

L’app unique pour réussir !