Suites récurrentes

Soient $(a,b,c) \in {\Bbb C}^* \times {\Bbb C}^2$. Une suite récurrente linéaire d'ordre $2$ est une suite définie par $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$.

Voici la méthode pour déterminer $u_n$ en fonction de $n$ :

On écrit l'équation caractéristique : $r^2=ar+b \iff r^2-ar-b=0$. On note $\Delta = a^2+4b$. 

a) Cas complexe

• Si $\Delta \neq 0$, l'équation caractéristique a deux solutions $r_1$ et $r_2$ distinctes. Alors $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n}=\mathrm Ar_1^n + \mathrm Br_2^n$ avec $\mathrm A$ et $\mathrm B$ deux constantes que l'on détermine à l'aide des conditions initiales $u_0$ et $u_1$.
• Si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique a une racine double $r_0$. Alors $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n}=(\mathrm{A+B}n)r_0^n$ avec $\mathrm A$ et $\mathrm B$ deux constantes que l'on détermine à l'aide des conditions initiales $u_0$ et $u_1$.

b) Cas réel c'est-à-dire $(a,b,c) \in {\Bbb R}^* \times {\Bbb R}^2$.

• Si $\Delta > 0$, l'équation caractéristique a deux solutions $r_1$ et $r_2$ réelles distinctes. Alors $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n}=\mathrm Ar_1^n + \mathrm Br_2^n$ avec $\mathrm A$ et $\mathrm B$ deux constantes que l'on détermine à l'aide des conditions initiales $u_0$ et $u_1$.
• Si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique a une racine double $r_0$. Alors $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n}=(\mathrm{A+B}n)r_0^n$ avec $\mathrm A$ et $\mathrm B$ deux constantes que l'on détermine à l'aide des conditions initiales $u_0$ et $u_1$.
• Si $\Delta < 0$, l'équation caractéristique a deux solutions $r_1$ et $r_2=\overline{r_1}$ complexes non réelles conjuguées. Alors $\forall n \in {\Bbb N}$ : $u_{n}=\rho^n(\mathrm A \cos(n\theta) + \mathrm B \sin(n\theta))$ avec $\rho = |r_1|$ et $\theta$ un argument de $r_1$.

Remarque : au lieu de $r_1$ on peut prendre $r_2$.

$\rm A$ et $\rm B$ sont deux constantes que l'on détermine à l'aide des conditions initiales $u_0$ et $u_1$.

Exemple :

La suite de Fibonacci est définie par $u_0=0$ et $u_1=1$ puis $\forall n \in {\Bbb N}$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$. 

L'équation caractéristique est $r^2-r-1=0$ admet les deux solutions réelles $\displaystyle{r_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ et $\displaystyle{r_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$. 

Il existe donc $\rm (A,B) \in {\Bbb R}^2$ telles que $\forall n \in {\Bbb N}$, $\displaystyle{u_n = \mathrm A\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + \mathrm B\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}$. 

Les conditions initiales s'écrivent $0=u_0= \rm A+B$ et $\displaystyle{1=u_1 = \mathrm A\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + \mathrm B\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}$. La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues donne $\displaystyle{\mathrm A=\frac{1}{\sqrt{5}}}$ et $\displaystyle{\mathrm B=-\frac{1}{\sqrt{5}}}$.

On a donc $\forall n \in {\Bbb N}$, $\displaystyle{u_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]}$. 

Remarque : On vérifie que la formule ci-dessus redonne bien les valeurs de $u_0$ et $u_1$. 

On considère une suite $(u_n)$ définie par le premier terme $u_0$ et la relation de récurrence définie par $u_{n+1}=f(u_n)$.

Dans le plan d'étude qui suit, certains points se font simultanément et pas forcément dans l'ordre indiqué.

1. Commencer par vérifier que la suite $(u_n)$ est bien définie. On détermine l'ensemble de définition $\rm D$ de $f$. On prouve par récurrence $\forall n \in {\Bbb N}$, $u_n\in \mathrm D$. 
2. Déterminer des intervalles stables par $f$ c'est-à-dire des intervalles $\mathrm I$ vérifiant $\forall x \in \rm I$, $f(x) \in \mathrm I$. (Cela demande éventuellement de faire une étude de la fonction $f$).

Si $\mathrm I$ est un intervalle stable et si $u_0 \in \rm I$ alors $\forall n \in {\Bbb N}$, $u_n \in \mathrm I$ (récurrence immédiate).

3. Étudier la fonction $f$ et le signe de $\delta(x) = f(x)-x$ sur l'intervalle $\rm I$ déterminé précédemment. Pour déterminer le signe de $\delta$, on est amené éventuellement à faire une étude de la fonction $\delta$.
4. Faire le graphe de $f$ en tenant compte du signe de $\delta$ qui donne la position de la courbe $y=f(x)$ et de la première bissectrice c'est-à-dire la droite d'équation $y=x$. Représenter les premiers termes de la suite $(u_n)$ (on s'aide de la première bissectrice pour reporter les $u_n$ sur l'axe des abscisses) et émettre des conjectures quant à son sens de variation et sa nature (c'est-à-dire sa convergence ou sa divergence). 

Si $u_0$ n'est pas fixé, il faut éventuellement faire des cas selon la position de $u_0$. 

5. On prouve les conjectures. On se base sur trois théorèmes :
• • Théorème : si $f$ est croissante sur $\mathrm J$ (un sous-intervalle de $\mathrm I$) et si la suite $(u_n)$ est dans $\mathrm J$ alors le sens de variation de $(u_n)$ est donné par le signe de $u_1-u_0$. 
    (Pour prouver que la suite $(u_n)$ est dans $\mathrm J$ faire une récurrence). 
  • Théorème : si $f$ est continue sur $\rm I$ et si $(u_n)$ converge alors $(u_n)$ converge nécessairement vers un point fixe de $f$ c'est-à-dire une solution de l'équation $f(x)=x$ ou $\delta(x)=0$.
  • Théorème de la limite monotone :
    • si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors $(u_n)$ converge.
    • si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors $(u_n)$ converge.
    • si la suite $(u_n)$ est croissante et non majorée alors $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si la suite $(u_n)$ est décroissante et non minorée alors $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.

Remarques :

• Dans le cas où $f$ est décroissante, on ne peut rien dire sur le sens de variations de la suite $(u_n)$. Il faut parfois étudier les sous-suites d'indices pairs et d'indices impairs.
• Parfois on utilise le fait que $f$ est $k$-lipschitzienne c'est-à-dire vérifie $|f(x) -f(y)| \le k|x-y|$. 

En remplaçant $x$ par $u_n$ et $y$ par un point fixe $a$ de $f$ : $|f(u_n) -f(a)| \le k|u_n-a|$ soit $|u_{n+1}-a| \le k|u_n-a|$ ce qui donne par récurrence $|u_n-a| \le k^n|u_0-a|$. Si la constante $k$ est $<1$, on peut alors conclure sur la convergence de la suite $(u_n)$ vers $a$.