Systèmes linéaires

Soit $\mathrm A=(a_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq n}{_{1 \leq j \leq p}}}$ une matrice de $M_{n,p}({\Bbb K})$.

Soient $\mathrm X=\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_p
\end{array}
\right) \in \mathrm M_{p,1}({\Bbb K})={\Bbb K}^p$ et $\mathrm B=\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}
\right) \in \mathrm M_{n,1}({\Bbb K})={\Bbb K}^n$.

Un système linéaire est une équation matricielle du type $\rm AX=B$ soit

$\scriptstyle(\mathrm S) \left\{\begin{array}{ccccccccc}
a_{1,1}x_1 & + & a_{1,2}x_2 & + & \ldots & + & a_{1,p}x_p & = & b_1 \\
a_{2,1}x_1 & + & a_{2,2}x_2 & + & \ldots & + & a_{2,p}x_p & = & b_2 \\
\ldots \\
a_{n,1}x_1 & + & a_{n,2}x_2 & + & \ldots & + & a_{n,p}x_p & = & b_n
\end{array}\right.$

Ce système comporte $n$ équations et $p$ inconnues. Le vecteur colonne $\mathrm B$ s'appelle le second membre.

Le système linéaire homogène associé $(\mathrm S)$ est le système $\rm AX=0$ soit

$\scriptstyle (\mathrm S_0) \left\{\begin{array}{ccccccccc}
a_{1,1}x_1 & + & a_{1,2}x_2 & + & \ldots & + & a_{1,p}x_p & = & 0 \\
a_{2,1}x_1 & + & a_{2,2}x_2 & + & \ldots & + & a_{2,p}x_p & = & 0 \\
\ldots \\
a_{n,1}x_1 & + & a_{n,2}x_2 & + & \ldots & + & a_{n,p}x_p & = & 0
\end{array}\right.$

Théorème : un système linéaire a soit aucune solution, une unique solution ou une infinité de solutions.

Théorème : Si $\mathrm A$ est une matrice carrée et inversible, le système $\rm AX = B$ possède une unique solution. Dans ce cas, le système est dit de Cramer.

Définition : Un système linéaire est compatible s’il admet au moins une solution.

Théorème : Le système $\rm AX = B$ est compatible si $\mathrm B$ est combinaison linéaire des colonnes de $\mathrm A$.

Théorème : Les solutions du système compatible $\rm AX = B$ sont les $\rm X_0 + Y$, où $\rm X_0$ est une solution particulière et où $\mathrm Y$ parcourt l’ensemble des solutions du système homogène associé.

Raisonnons sur un exemple :

$\left\{
\begin{array}{lll}
x + y + z & = & 6 \\
-x + 3y + 7z & = & -10\\
x + 3y + 4z & = & 6\\
\end{array}
\right.$

Pour simplifier, on préfère travailler avec la matrice des coefficients et le second membre. On sépare les coefficients du second membre par une barre verticale. On se rappellera que la première colonne concerne l'inconnue $x$, la deuxième l'inconnue $y$ et la troisième l'inconnue $z$.

$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
-1 & 3 & 7 & -10\\
1 & 3 & 4 & 6\\
\end{array}
\right)$.

Les opérations utilisées pour la méthode du pivot de Gauss sont au nombre de $3$.

• On peut additionner à une ligne une autre ligne ou même une autre ligne multipliée par un nombre
• On peut échanger deux lignes
• On peut multiplier une ligne par un nombre non nul

Ces opérations transforment un système linéaire en un autre système linéaire qui lui est équivalent c'est-à-dire que les deux auront le même ensemble de solution.

Attention : ne jamais faire des opérations sur les colonnes.

1ère étape. On va mettre des zéros en dessous du coefficient $a_{1,1} = 1$ qui s'appelle un pivot.

Pour mettre ces zéros on fait les opérations : $\rm L_2 \leftarrow L_2+L_1$ et $\rm L_3 \leftarrow L_3-L_1$.

On obtient :

$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 4 & 8 & -4\\
0 & 2 & 3 & 0\\
\end{array}
\right)$.

2ème étape. On met des zéros en dessous du coefficient $a'_{2,2}=4$.

Pour cela on fait les opérations $\rm L_3 \leftarrow 2L_3-L_2$.

On obtient :

$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 4 & 8 & -4\\
0 & 0 & -2 & 4\\
\end{array}
\right)$.

Le premier coefficient non nul en partant de la gauche de chaque ligne s'appelle un pivot. Le nombre de pivots est le rang du système ou le rang de la matrice $\mathrm A$.

Pour simplifier on peut diviser la ligne $2$ par $4$ et la ligne $3$ par $2$ :

$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 1 & 2 & -1\\
0 & 0 & -1 & 2\\
\end{array}
\right)$.

On revient au système avec les inconnues :

$\left\{
\begin{array}{lll}
x + y + z & = & 6 \\
y +2z & = & -1\\
-z & = & 2\\
\end{array}
\right.$

On obtient ce qui s'appelle un système triangulaire facile à résoudre en commençant par le dernière équation puis en remontant : $z=-2$ puis $y = -2z-1 = 4-1=3$ et $x = 6-y-z = 6-3+2 = 5$.

On a donc $\rm S = \{(5,3,-2)\}$.

On peut vérifier qu'en remplaçant $x$, $y$ et $z$ respectivement par $5,3,-2$ dans le système initial, cela convient.

Le rang de la matrice est $3$ (car on a $3$ pivots).

$\left\{
\begin{array}{lll}
2x - y + z & = & 1 \\
x + y + z & = & 1\\
5x - y + 3z & = & 3\\
\end{array}
\right.$

La matrice associée à ce système est

$\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1\\
5 & -1 & 3 & 3\\
\end{array}
\right)$.

On met des zéros en dessous de $a_{1,1}=2$.

On effectue les opérations :
$\rm L_2 \leftarrow 2L_2-L_1$ et $\rm L_3 \leftarrow 2L_3-5L_1$.

(N.B : il faut éviter de travailler avec des fractions)

On obtient :

$\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 3 & 1 & 1\\
0 & 3 & 1 & 1\\
\end{array}
\right)$.

On met un zéro en dessous de $a'_{2,2}=3$ en faisant $\rm L_3 \leftarrow L_3-L_2$ :

$\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 3 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right)$.

Remarque : le rang de la matrice est $2$ (car on a $2$ pivots).

On revient aux inconnues :

$\left\{
\begin{array}{lll}
2x - y + z & = & 1 \\
3y + z & = & 1\\
0 & = & 0\\
\end{array}
\right.$

La dernière équation est toujours vérifiée ! On se rend compte qu'il y a plus d'inconnues que d'équations. Cela signifie qu'on aura une infinité de solutions. Les solutions vont dépendre d'un paramètre. On peut par exemple exprimer les inconnues en fonctions du paramètre $z$:

$3y = 1-z$ d'après la $\rm 2^{ème}$ équation donc $\displaystyle{y = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}z}$.

D'après la $\rm 1^{ère}$ équation, $\displaystyle{2x = 1+y-z = 1+ \frac{1}{3} - \frac{1}{3}z - z = \frac{4}{3} - \frac{4}{3}z}$ donc
$\displaystyle{x = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}z}$.

L'ensemble des solutions est :

$\displaystyle{\mathrm S= \left\{\left(\frac{2}{3} - \frac{2}{3}z,\frac{1}{3} - \frac{1}{3}z,z\right) \mid z \in {\Bbb R}\right\}}$.

Remarque : $z$ est quelconque ; c'est la raison pour laquelle il y a une infinité de solutions.

Si on veut éviter les fractions, on aurait pu exprimer les inconnues en fonction de $y$ plutôt que $z$. Alors $z=1-3y$ puis $2x=1+y-z = 4y$ donc $x=2y$. On obtient exactement le même ensemble de solutions mais décrit différemment :

$\displaystyle{\mathrm S= \left\{\left(2y,y,1-3y\right) \mid y \in {\Bbb R}\right\}}$.