Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

Définition : Le travail, noté $\rm W_{AB}(\vec F)$ d'une force constante $\rm \vec F$, sur un déplacement $\rm AB$ de son point d'application, est le produit scalaire de la force $\bf \vec F$ par le déplacement $\bf \overrightarrow{AB}$.

On écrit ainsi : $\begin{array}{|c|}\hline \rm W_{AB}(\vec F) = \vec F \cdot \overrightarrow{AB}\\ \hline \end{array}$ ou $\begin{array}{|c|}\hline \rm W_{AB}(\vec F) = F \cdot AB \cdot \cos \alpha \\ \hline \end{array}$

$$\scriptstyle \left\{\begin{array}{lll} \rm W_{AB}(\vec F) : \text{Travail de la force } \vec F \text{ en Joules (J)}\\ \rm \overrightarrow{AB} : \text{Vecteur déplacement du point d'application de la force.}\\ \text{AB en mètres (m).}\\ \rm \alpha : \text{Angle existant entre les vecteurs, } \vec F \text{ et } \overrightarrow{AB},\\ \text{ en ° (degré) ou rad (radian)}\\ \end{array}\right.$$

Travail du poids :

$\rm W_{AB}(\vec P) = \vec P \cdot \overrightarrow{AB} = \mathcal{m\vec g}\cdot \overrightarrow{AB}$ $=mg \cdot \rm AB \cdot \cos (\alpha)$

Or dans le triangle $\rm AOB$ représenté ci-dessous :

$$\scriptstyle \rm\cos(\alpha) = \frac{AO}{AB} \begin{array}{lll} \Rightarrow \mathrm{AB \cdot \cos(\alpha) = AO} = z_A - z_o \\ \Rightarrow \mathrm{AB} \cdot \cos(\alpha) = z_A - z_B \\ \Rightarrow \mathrm{W_{AB}(\vec P)} = mg \cdot \mathrm{AB} \cdot \cos(\alpha) = mg(z_A - z_B)\\ \end{array}$$

Bilan : Le travail du poids est défini par la relation suivante :

$$\begin{array}{|c|} \hline \mathrm{W_{AB}(\vec P)} = mg (z_A - z_B)\\ \hline \end{array}$$

Il ne dépend que de la variation d'altitude $z_A - z_B$.

Travail d'une force de frottement :

Le travail de la force de frottements, sur le chemin $\rm AB$ s'exprime ainsi :

$$\mathrm{W_{AB}} = \vec f \cdot \mathrm{\overrightarrow{AB}} = f \cdot \mathrm{AB} \cdot \cos (180°) = -f \cdot \rm AB$$

Théorème de l'énergie cinétique :

$$\displaystyle \mathrm{Ec} = \frac{1}{2} \times \mathrm m \times v^2$$

Avec : 

• La masse $\rm m$ exprimée en kilogramme $\rm (kg)$
• La vitesse $v$ exprimée en mètres par seconde $\rm(m/s)$
• L'énergie cinétique $\rm Ec$ exprimée en Joules $\rm(J)$

La variation d'énergie cinétique $\rm Ec$ d'un solide entre $\rm A$ et $\rm B$ est liée au travail des forces appliquées entre $\rm A$ et $\rm B$ = c'est le théorème de l'énergie cinétique :

$$\displaystyle \rm Ec_B - Ec_A = \sum W_{AB} (\vec F)$$

$$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \mathrm m \cdot v_B^2 - \frac{1}{2} \cdot \mathrm m \cdot v_A^2 = \Delta \rm Ec = \sum W_{AB}(\vec F)$$

Energie mécanique :

L'énergie mécanique, notée $\rm Em$, d'un corps est la somme de son énergie cinétique $\rm Ec$ et son énergie potentielle de pesanteur $\rm Epp$ :

$$\rm Em = Ec + Epp$$

On appelle énergie potentielle de pesanteur d'un solide $\rm S$ de masse $\rm m$ situé à l'altitude $z$ la quantité.

$$\scriptstyle \color{blue}{\begin{array}{|c|} \hline \color{black}{\mathrm{Epp = m} \cdot g \cdot z} \\ \hline \end{array}} \color{black}{\text{ et } \left\{\begin{array}{lll} \rm _{Epp} \text{ Energie potentielle de pesanteur en Joules (J)}\\ \rm _m \text{ Masse du solide en kilogramme (kg)}\\ _z \text{ Altitude du solide en mètre (m).}\\ \end{array}\right.}$$

Conservation de l'énergie mécanique :

Au cours d'une chute sans frottements, l'énergie mécanique est constante : on dit qu'elle se conserve. La diminution de l'énergie potentielle de pesanteur est compensée par l'augmentation de l'énergie cinétique.