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Compléments (Terminale)

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Fonctions polynômes de degré 2

Fonctions xa(xx1)(xx2), a0, x1<x2 trois réels

- Si a>0, la courbe représentative de cette fonction est une parabole orientée vers le haut.

Elle coupe l’axe des abscisses en x=x1 et x=x2.

Elle est située au-dessus de l’axe des abscisses sur les intervalles ] ; x1[ et ]x2 ; +[, et au-dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle ]x1 ; x2[.

- Si a<0, la courbe représentative de cette fonction est une parabole orientée vers le bas.

Elle coupe l’axe des abscisses en x=x1 et x=x2.

Elle est située au-dessous de l’axe des abscisses sur les intervalles ] ; x1[ et ]x2 ; +[, et au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle ]x1 ; x2[.

Dans tous les cas, la courbe représentative de cette fonction admet pour extremum le point S(x1+x22 ; a(x2x1)24) et pour axe des symétrie la droite d’équation x=x1+x22.

 

Exemples de représentations graphiques :

Nombre dérivé

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R contenant x0.

On dit que f est dérivable en x0 si le quotient f(x0+h)f(x0)h admet une limite finie quand h tend vers 0.

Cette limite est le nombre dérivé de f en x0 et se note f(x0)

On a donc :

lim = .

Calcul du nombre dérivé

Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction f dérivable en on calcule .

Point de vue graphique du nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction en un point d'abscisse est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse .

Equation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe au point d’abscisse a pour équation :

Fonction dérivée

Dérivée des fonctions usuelles
La fonction carré ($x\mapsto x^2$) est dérivable sur l’intervalle ]$-\infty$ ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto 2x$.
La fonction cube ($x\mapsto x^3$) est dérivable sur l’intervalle ]$-\infty$ ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto 3x^2$.

Dérivée d'une somme
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction $u + v$ est dérivable sur $I$ et :

$(u + v)' = u’ + v’$.

Dérivée d'un produit par un réel
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $k$ un nombre réel.
La fonction $k \times u$ est dérivable sur $I$ et :

$(k \times u)' = k \times u'$.

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