Définition
Pour a>0 fixé, la fonction exponentielle de base a est la fonction expa:x↦ax.
Elle est définie et positive sur R ; expa(0)=1.
Elle est dérivable sur R et :
- pour 0<a<1, la fonction est décroissante sur R.
- pour a=1, la fonction est constante sur R.
- pour a>1, la fonction est croissante sur R.
Propriétés algébriques
Pour tous les x et y réels, et n entier relatif :
ax+y=ax×ay ; ax−y=axay ; anx=(ax)n.
Racine n-ième d’un réel positif (a=1n)
Pour un réel a>0 et n un entier naturel non nul, la solution positive de l’équation xn=a est x=a1n que l’on peut calculer à la calculatrice.
On résout ce type d’équation pour calculer un taux d’évolution moyen associé à des évolutions successives dont le taux est donné.
Représentations graphiques selon les valeurs de a>0
a=1 ; 0<a=0,3<1 ; a=2>1